Question

求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）一条准线方程为y=

9

2

，离心率为

2

3

；
（2）与椭圆

x2

16

+

y2

15

=1有相同的焦点，且经过点(1，

3

2

)；
（3）经过A(4，

12

5

)，B(-3，-

16

5

)两点．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，且

a2 c = 9 2 c a = 2 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设与椭圆

x2

16

+

y2

15

=1有相同的焦点的椭圆为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，a＞0，把（1，

3

2

）代入，能求出椭圆方程．
（3）设所求的椭圆方程为mx²+ny²=1，m＞0，n＞0，m≠n．把A(4，

12

5

)，B(-3，-

16

5

)两点代入，能求出椭圆方程．

解答： 解：（1）∵椭圆的一条准线方程为y=

9

2

，离心率为

2

3

，
∴设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，
且

a2 c = 9 2 c a = 2 3 a2=b2+c2

，
解得a=3，b=

5

，
∴椭圆的标准方程为

y2

9

+

x2

5

=1．
（2）∵椭圆

x2

16

+

y2

15

=1的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴设与椭圆

x2

16

+

y2

15

=1有相同的焦点的椭圆为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，a＞0，
把（1，

3

2

）代入，得：

1

a2

+

9 4

a2-1

=1，
解得a²=4或a²=

1

4

（舍），
∴所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（3）设所求的椭圆方程为mx²+ny²=1，m＞0，n＞0，m≠n．
把A(4，

12

5

)，B(-3，-

16

5

)两点代入，得：

16m+ 144 25 n=1 9m+ 256 25 n=1

，
解得m=

1

25

，n=

1

16

，
∴椭圆方程为

x2

25

+

y2

16

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．