Question

（1）设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊．求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）已知数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=-n²+4n，求T_n的最大值和通项b_n．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,数列的函数特性,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意和等比数列的定义判断出数列{a_n}是等比数列，代入通项公式、前n项和公式化简即可；
（2）将T_n=-n²+4n配方，由二次函数的性质求出最大值，再根据当n=1时b₁=T₁，当n≥2时b_n=T_n-T_n-1，求出通项b_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=3a_n 得，

an+1

an

=3，
所以数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列…2分
则an=1×3n-1=3^n-1      4分，
Sn=

1-3n

1-3

=

1

2

(3n-1)   6分
（2）由题意得，T_n=-n²+4n=-（n-2）²+4，8分
当n=2时，T_n取得最大值4  …9分
当n=1时，b₁=T₁=3  …9分
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=-n²+4n-[-（n-1）²+4（n-1）]=-2n+5     12分
且b₁也适合上式，所以b_n=-2n+5         13分．

点评：本题考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，利用二次函数的性质求数列前n项和的最值问题，以及数列的通项与前n项和的关系式的应用，属于中档题．