Question

12．下列命题中是假命题的是（　　）

• A． ?m∈R，使$f（x）=（m-1）•{x^{{m^2}-4m+3}}$是幂函数
• B． ?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ
• C． ?φ∈R，函数f（x）=sin（x+φ）都不是偶函数
• D． ?a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点

Answer 1

分析 A．根据幂函数的定义进行求解即可．
B．利用特殊值法进行判断．
C．利用特殊值法进行判断．
D．利用函数与方程的关系将函数进行转化，结合一元二次函数的性质进行判断．

解答 解：A．∵函数f（x）是幂函数，则m-1=1，则m=2，
此时函数f（x）=x^-1为幂函数，故A正确，
B．当α=$\frac{π}{2}$，β=-$\frac{π}{4}$时，cos（α+β）=cos（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
而cosα+cosβ=cos$\frac{π}{2}$+cos（-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即此时cos（α+β）=cosα+cosβ成立，故B正确，
C．当φ=$\frac{π}{2}$，k∈Z时，f（x）=sin（x+φ）=cosx是偶函数，故C错误，
D．由f（x）=ln²x+lnx-a=0得ln²x+lnx=a，
设y=ln²x+lnx，则y=（lnx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥-$\frac{1}{4}$，
∴当a＞0时，ln²x+lnx=a一定有解，即?a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点，故D正确
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度不大．