Question

3．已知命题p：“方程x²+mx+1=0恰好有两个不相等的负根”；
命题q：“不等式3^x-m+1≤0存在实数解”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p、q为真命题时m的取值范围，再根据p∨q为真命题，p∧q为假命题时p、q一真一假，从而求出m的取值范围．

解答 解：命题p：“方程x²+mx+1=0恰好有两个不相等的负根”为真命题时，
$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}＜0}\\{{{x}_{1}x}_{2}＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞2；
命题q：“不等式3^x-m+1≤0存在实数解”为真命题时，
3^x≤m-1，即m-1＞0，解得m＞1；
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1}\end{array}\right.$，m的值不存在；
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{m＞1}\end{array}\right.$1＜m≤2；
综上，实数m的取值范围是（1，2]．

点评 本题考查了复合命题的真假性问题，是综合性题目．