Question

17．已知定义在R上的函数f（x）同时满足以下三个条件
（1）f（x）+f（2-x）=0，
（2）f（x）=（-2-x）
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈[-1，0]}\\{1-x，x∈（0，1]}\end{array}\right.$
则函数f（x）与函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x＞0}\end{array}\right.$的图象在区间[-3，3]上公共点个数为6个．

Answer 1

分析 根据f（x）的周期性和对称性做出f（x）在[-3，3]上的函数图象，再做出g（x）的函数图象，根据图象判断交点个数．

解答 解：∵f（x）=f（-2-x），∴f（x）的图象关于x=-1对称，
又∵f（x）+f（2-x）=0，∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，
做出f（x）和g（x）在[-3，3]上的函数图象如图所示：

由图象可知当x≤0时，f（x）与g（x）的图象有4个交点，
设g（x）在（1，0）处的切线斜率为k，则k=-$\frac{1}{ln2}$＜-1，又g（2）=f（2）=-1，
∴当x＞0时，f（x）与g（x）只有两个交点（1，0）和（2，-1）．
综上，f（x）与g（x）在[-3，3]上有6个交点．
故答案为：6．

点评 本题考查了分段函数的图象，函数性质的应用，属于中档题．