Question

7．直线y=a分别与函数f（x）=2x+3，g（x）=x+lnx相交于P，Q两点，则|PQ|的最小值为2．

Answer 1

分析 设P（x₁，a），Q（x₂，a），则2x₁+3=x₂+lnx₂，表示出x₁，求出|PQ|，利用导数求出|PQ|的最小值．

解答 解：设P（x₁，a），Q（x₂，a），则2x₁+3=x₂+lnx₂，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+lnx₂-3），
∴|PQ|=x₂-x₁=$\frac{1}{2}$（x₂-lnx₂）+$\frac{3}{2}$，
令y=$\frac{1}{2}$（x-lnx）+$\frac{3}{2}$，则y′=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{x}$），
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数的最小值为2，
故答案为2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．