Question

6．在棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，D，E分别是线段BC，AA₁的中点．
（1）求证：DE∥平面A₁C₁B；
（2）求直线DE与平面ABB₁A₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC₁的中点M，连接DM，A₁M，可通过证明四边形A₁EDM是平行四边形得出DE∥A₁M，于是DE∥平面A₁C₁B；
（2）过D作DH⊥AB于H，则∠HED为DE与平面AA₁B₁B所成的角，利用勾股定理计算DE，DH，得出sin∠HED．

解答 证明：（I）取BC₁的中点M，连接DM，A₁M，
则DM∥CC₁，DM=$\frac{1}{2}$CC₁，
又E为AA₁的中点，∴A₁E∥CC₁，A₁E=$\frac{1}{2}$CC₁，
∴A₁E∥DM，A₁E=DM，
∴四边形A₁EDM是平行四边形，
∴DE∥A₁M，又A₁M?平面A₁C₁B，DE?平面A₁C₁B，
∴DE∥平面A₁C₁B．
（II）过C作CN⊥AB，过D作DH⊥AB，
∵A₁A⊥平面ABC，DH?平面ABC，
∴A₁A⊥DH，又DH⊥AB，A₁A∩AB=A，
∴DH⊥平面AA₁B₁B，
∴∠HED为DE与平面AA₁B₁B所成的角，
∵AC=BC=2，AC⊥BC，∴CN=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AE=$\frac{1}{2}$C₁C=1，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴sin∠HED=$\frac{DH}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直线DE与平面ABB₁A₁所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．