Question

如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=

3

，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．
（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；
（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S²+T²的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD²，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；
（Ⅱ）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出S²+T²，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S²+T²的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）连接BD，
∵CD=

3

，AB=BC=DA=1，
∴在△BCD中，利用余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=4-2

3

cosC；
在△ABD中，BD²=2-2cosA，
∴4-2

3

cosC=2-2cosA，
则cosA=

3

cosC-1；
（Ⅱ）S=

1

2

BC•CD•sinC=

3

2

sinC，T=

1

2

AB•ADsinA=

1

2

sinA，
∵cosA=

3

cosC-1，
∴S²+T²=

3

4

sin²C+

1

4

sin²A=

3

4

（1-cos²C）+

1

4

（1-cos²A）=-

3

2

cos²C+

3

2

cosC+

3

4

=-

3

2

（cosC-

3

6

）²+

7

8

，
则当cosC=

3

6

时，S²+T²有最大值

7

8

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及二次函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．