Question

为了监测某海域的船舶航行情况，在该海域设立了如图所示东西走向，相距20海里的A，B两个观测站，观测范围是到A，B两观测站距离之和不超过40海里的区域．
（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（参考数据：

2

≈1.4，

3

≈1.7．）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：Ⅰ）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，题意可知：考察区域边界曲线是以A，B为焦点的椭圆，设出椭圆方程，利用相距20海里的A，B两个观测站，观测范围是到A，B两观测站距离之和不超过40海里的区域，即可得到观测区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）设轮船在观测区域内航行的时间为t小时，航线与区域边界的交点为C、D，可得直线CD方程，与椭圆方程联立，求出|CD|，即可求出结论．

解答： 解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．…（1分）
（Ⅰ）依题意可知：考察区域边界曲线是以A，B为焦点的椭圆，…（2分）
设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则

2a=40 2c=20 a2=b2+c2

，…（4分）
解得a=20，b=10

3

，…（5分）
∴观测区域边界曲线的方程为：

x2

400

+

y2

300

=1．…（6分）
（Ⅱ）设轮船在观测区域内航行的时间为t小时，航线与区域边界的交点为C、D，
∵C（20，0），k_CD=tan135°=-1，
∴直线CD方程：y=-x+20．…（7分）
联立方程

y=-x+20 x2 400 + y2 300 =1

，整理得：7x²-160x+400=0，…（8分）
解得x1=20，x2=

20

7

…（9分）
∴|CD|=

2

•|20-

20

7

|=

120

7

2

≈24…（11分）
∴t=

24

8

=3（小时）．
∴轮船大约在当日上午10时离开观测区域．…（12分）

点评：本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识及直线与椭圆的位置关系；考查运算求解、抽象概括能力、应用意识，化归与转化思想．