Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；
（Ⅱ）过点E（0，-4）的直线与轨迹W交于两点A，B，点D是点E关于x轴的对称点，点A关于y轴的对称点为A₁，证明A₁，D，B三点共线．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=-1的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx-4，代入抛物线方程，求出直线A₁B的方程，证明直线A₁B过点D（0，4），可证A₁，D，B三点共线．

解答： （Ⅰ）解：∵动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1，
∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=-1的距离，
∴动点P的轨迹W是以F（0，1）为焦点的抛物线，其方程为x²=4y；
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（-x₁，y₁），
由

y=kx-4 x2=4y

消去y可得x²-4kx+16=0，
则△=16k²-64＞0，即|k|＞2，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=16．
直线A₁B：y-y2=

y2-y1

x2+x1

(x-x2)，
∴y=

x22-x12

4(x1+x2)

(x-x2)+

1

4

x22，
∴y=

x2-x1

4

x+

x1x2

4

，
∴y=

x2-x1

4

x+4，
∴直线A₁B过点D（0，4），
∴A₁，D，B三点共线．

点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，确定直线A₁B的方程是关键．