Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），M点的坐标为（12，8），N点在抛物线C上，且满足

ON

=

3

4

OM

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点M作倾斜角互补的两条直线l₁，l₂，l₁与抛物线C交于不同两点A，B，l₂与抛物线C交于不同两点D，E，弦AB，DE的中点分别为G，H．求当直线l₁的倾斜角在[

π

6

，

π

4

]时，直线GH被抛物线截得的弦长的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由

ON

=

3

4

OM

，M点的坐标为（12，8），得出

ON

=（9，6）代入y²=2px，求出p的值，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设l₁斜率为k，方程为y=k（x-12）+8，则l₂方程为y=-k（x-12）+8与y²=4x联立，求出G，H的坐标，可得GH的方程，代入抛物线方程，求出弦长PQ，即可求出直线GH被抛物线截得的弦长的最大值．

解答： 解：（I）由

ON

=

3

4

OM

，M点的坐标为（12，8），得出

ON

=（9，6）代入y²=2px，得到2p=4，
所以抛物线C的方程为y²=4x…（4分）
（II）由题意知直线l₁，l₂的斜率存在，且不为零，设l₁斜率为k，方程为y=k（x-12）+8，
则l₂方程为y=-k（x-12）+8
由y=k（x-12）+8与y²=4x联立，得：ky²-4y+32-48k=0…（5分）
△=16-4k（32-48k）＞0，∴k＞

1

2

或k＜

1

6

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点G（x_G，y_G），则y₁+y₂=

4

k

，即y_G=

2

k

…（7分）
又y_G=k（x_G-12）+8，∴x_G=

2

k2

-

8

k

+12
∴G的坐标为（

2

k2

-

8

k

+12，

2

k

）．
用-k代替k，同理得-k＞

1

2

或-k＜

1

6

，H的坐标（

2

k2

+

8

k

+12，-

2

k

）．
∴k＞

1

2

或-

1

6

＜k＜0，0＜k＜

1

6

．或k＜-

1

2

，
又∵直线l₁的倾斜角在[

π

6

，

π

4

]，即

3

3

≤k≤1…（9分）
而k_GH=

2 k + 2 k

- 8 k - 8 k

=-

1

4

    
∴GH：y=-

1

4

（x-x_G）+y_G，…（11分）
代入抛物线方程得：y²+16y-4（x_G+4y_G）=0
△=16²+16（x_G+4y_G）=16（16+

2

k2

+12）＞0
设直线GH与抛物线C交于P，Q两点，
则弦长|PQ|=4

17

•

28+ 2 k2

…（13分）
∵

1

3

≤k2≤1，∴1≤

1

k2

≤3，
∴|PQ|_max=68

2

∴直线GH被抛物线截得的弦长的最大值为68

2

．…（15分）

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．