Question

14．已知圆O：x²+y²=1，点M（x₀，y₀）是直线x-y+2=0上一点，若圆O上存在一点N，使得$∠NMO=\frac{π}{6}$，则y₀的取值范围是[-2，0]．

Answer 1

分析 过M作⊙O切线交⊙C于R，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥$\frac{π}{6}$，|OM|≤2．再根据M（x₀，2+x₀），|OM|²=x₀²+y₀²=2x₀² +4x₀+4，求得x₀的取值范围．

解答 解：过M作⊙O切线交⊙C于R，根据圆的切线性质，
有∠OMR≥∠OMN．
反过来，如果∠OMR≥$\frac{π}{6}$，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=$\frac{π}{6}$．
∴若圆O上存在点N，使∠OMN=$\frac{π}{6}$，则∠OMR≥$\frac{π}{6}$．
∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．
又∵M（x₀，2+x₀），
|OM|²=x₀²+y₀²=x₀²+（2+x₀）²=2x₀² +4x₀+4，
∴2x₀²+4x₀+4≤4，解得，-2≤x₀≤0．
∴x₀的取值范围是[-2，0]，
故答案为：[-2，0]．

点评 本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查学生的转化能力，计算能力，属于中档题．