Question

6．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程x±$\sqrt{3}$y=0，则C₁与C₂的离心率之积为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 利用双曲线的渐近线推出a、b关系式，然后求解椭圆以及双曲线的离心率，即可得到结果．

解答 解：双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程x±$\sqrt{3}$y=0，
可得：$\frac{a}{b}=\sqrt{3}$，即$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$双曲线的离心率为：e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
椭圆中$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$，可得椭圆的离心率为：e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则C₁与C₂的离心率之积：$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．