Question

9．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinωx，1+cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，1-cosωx），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中ω＞0，若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的对称中心；
（2）若g（x）=f（x）+m在区间[0，$\frac{π}{2}$]上存在两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的坐标运算可得f（x）的解析式，再由降幂公式及辅助角公式化简，结合四分之一周期求得ω，再由相位终边落在x轴上求得函数的对称中心；
（2）求出函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的单调性，再求出f（0）、f（$\frac{π}{3}$）、f（$\frac{π}{2}$）的值，由g（x）=f（x）+m在区间[0，$\frac{π}{2}$]上存在两个不同的零点即可求得m的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sinωxcosωx+（1-cosωx）（1+cosωx）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+1-\frac{1+cos2ωx}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
∵f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为$\frac{π}{4}$，且ω＞0，
∴$\frac{T}{4}=\frac{2π}{8ω}=\frac{π}{4}$，ω=1．
∴f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
由$2x-\frac{π}{6}=kπ$，k∈Z，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，k∈Z$．
∴f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，\frac{1}{2}$），k∈Z；
（2）$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$的单调递增区间为[0，$\frac{π}{3}$]，单调递减区间为[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]，
∵g（x）=f（x）+m在区间[0，$\frac{π}{2}$]上存在两个不同的零点，
∴f（x）=-m在区间$[0，\frac{π}{2}]$上有两个不等的实数根，
∵$f（0）=0，f（\frac{π}{3}）=\frac{3}{2}，f（\frac{π}{2}）=1$，
∴1≤-m＜$\frac{3}{2}$，则$-\frac{3}{2}$＜m≤-1．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，考查根的存在性及根个数的判断方法，体现了“数学转化”思想方法，是中档题．