Question

3．已知过抛物线方程y²=2px，过焦点F的直线l斜率为k（k＞0）与抛物线交于A，B两点，满足$\frac{1}{{|{\overrightarrow{AF}}|}}+\frac{1}{{|{\overrightarrow{FB}}|}}=1$，又$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，则直线l的方程为y=2$\sqrt{2}$（x-1）．

Answer 1

分析 先求出p的值，再设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，利用在直角三角形ABC中，求出tan∠BAC，得出直线AB的斜率，即可得出结论．

解答 解：∵$\frac{1}{{|{\overrightarrow{AF}}|}}+\frac{1}{{|{\overrightarrow{FB}}|}}=1$，
∴由抛物线的性质，可得$\frac{2}{p}$=1，∴p=2．
如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，
过B作AE的垂线BC，
在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，
其正切值即为K值，
设|BF|=n，∵|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，
根据抛物线的定义得：|AE|=2n，|BF|=n，
∴|AC|=n，
在直角三角形ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=2$\sqrt{2}$，
∴直线l的方程为y=2$\sqrt{2}$（x-1）．
故答案为y=2$\sqrt{2}$（x-1）．

点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．