Question

19．函数f（x）=2x³+x，实数m满足f（m²-2m）+f（m-6）＜0，则m的取值范围是（-2，3）．

Answer 1

分析 根据题意，对函数f（x）=2x³+x求导可得其导数f′（x）=6x²+1＞0，分析可得函数f（x）为增函数，进而由f（-x）=-2x³-x=-f（x）分析可得，f（x）为奇函数；结合函数的奇偶性与单调性，可以将f（m²-2m）+f（m-6）＜0，转化为m²-2m＜6-m，解可得m的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，对于函数f（x）=2x³+x，其导数f′（x）=6x²+1＞0，则函数f（x）为增函数，
又由f（-x）=-2x³-x=-f（x），则函数f（x）为奇函数，
若f（m²-2m）+f（m-6）＜0，
则有f（m²-2m）＜-f（m-6），
即f（m²-2m）＜f（6-m），
又由函数f（x）为增函数，
则有m²-2m＜6-m，
解可得：-2＜m＜3，
即m的取值范围是（-2，3）；
故答案是：（-2，3）．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是转化思路，分析函数f（x）的奇偶性与单调性．