Question

2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ；
（1）求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C₁，C₂的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率$k∈[1，\sqrt{3}）$时，求|OA|•|OB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先将C₁的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C₂的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C₂的直角坐标方程；
（2）求出l的参数方程，分别代入C₁，C₂的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），普通方程为（x-1）²+y²=1，即x²+y²=2x，
极坐标方程为C₁：ρ=2cosθ，
曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，
∴曲线C₂的直角坐标方程${C_2}：{x^2}=2y$，
（2）设射线l的倾斜角为α，
则射线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，$\frac{π}{4}≤α＜\frac{π}{3}$）．
把射线l的参数方程代入曲线C₁的普通方程得：t²-2tcosα=0，
解得t₁=0，t₂=2cosα．
∴|OA|=|t₂|=2cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C₂的普通方程得：cos²αt²=2tsinα，
解得t₁=0，t₂=$\frac{2sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OB|=|t₂|=$\frac{2sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OA|•|OB|=2cosα•$\frac{2sinα}{co{s}^{2}α}$=4tanα=4k．
∵$k∈[1，\sqrt{3}）$，4k∈$[4，4\sqrt{3}）$，
∴|OA|•|OB|的取值范围是$[4，4\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义的应用，属于中档题．