Question

已知F是抛物线y²=4x上的焦点，P是抛物线上的一个动点，若动点M满足

FP

=2

FM

，则M的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：圆锥曲线的轨迹问题,抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意算出抛物线的焦点为F（1，0），设M（x，y）、P（

1

4

t²，t），可得向量

FP

=（

1

4

t²-1，t）、

FM

=（x-1，y），由

FP

=2

FM

建立关于x、y、t的方程组，再消去参数t即可得到动点M的轨迹方程．

解答： 解：设M的坐标为（x，y），P的坐标为（

1

4

t²，t）
∵抛物线y²=4x中，2p=4，可得

p

2

=1，∴抛物线的焦点为F（1，0）．
由此可得

FP

=（

1

4

t²-1，t），

FM

=（x-1，y）．
又∵动点M满足

FP

=2

FM

，∴（

1

4

t²-1，t）=2（x-1，y），
可得

1 4 t2-1=2x-2 t=2y

，消去参数t可得y²=2x-1，即为动点M的轨迹方程．
故答案为：y²=2x-1

点评：本题给出动点P为抛物线的焦半径PF的中点，求点M的轨迹方程．着重考查了向量的坐标运算、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．