Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，a₂=8，a₃+a₄=48．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₄a_n，求{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），a₂=8，a₃+a₄=48，两式相除可求得q=2，从而可求得a₁及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，可求得a_n•b_n=

n+1

2

•2ⁿ⁺¹，利用错位相减法即可求得{a_n•b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意q＞0，
∵a₂=8，a₃+a₄=48，两式相除得：q²+q-6=0，
解得q=2或q=-3（舍去），
∴a₁=

a2

q

=4，
∴等比数列{a_n}的通项公式为a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=log₄a_n=

n+1

2

，
∴a_n•b_n=

n+1

2

•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=1×2²+

3

2

×2³+2×2⁴+…+

n+1

2

•2ⁿ⁺¹①，
∴2S_n=1×2³+

3

2

×2⁴+2×2⁵+…+

n

2

•2ⁿ⁺¹+

n+1

2

•2ⁿ⁺²②，
①-②得：-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-

n+1

2

•2ⁿ⁺²
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-

n+1

2

•2ⁿ⁺²
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式的应用，突出错位相减法求和的考查，考查推理与运算能力，属于中档题．