Question

已知圆C过点（11，0），且与圆x²+y²=25外切于点（3，4）．
（1）求两个圆的内公切线的方程（如果两个圆位于公切线的异侧，则这条公切线叫做两个圆的内公切线）；
（2）求圆C的方程．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：（1）由切点M（3，4），求得 K_OM=

4-0

3-0

=

4

3

，可得两个圆的内公切线的斜率为-

3

4

，用点斜式求得两个圆的内公切线方程．
（2）令A（11，0），由于点M（3，4），求得MC直线方程以及线段AM的中垂线方程，联立方程组求得C点坐标，再求得半径的平方，即r²=|AC|²的值，可得圆C方程．

解答： 解：（1）∵切点M（3，4），则由题意可得，两个圆的内公切线经过点M，且和OM垂直．
∵K_OM=

4-0

3-0

=

4

3

∴两个圆的内公切线的斜率为-

3

4

，故两个圆的内公切线方程为 y-4=-

3

4

（x-3），
化简可得 3x+4y-25=0．
（2）设A（11，0），切点M（3，4），∵圆x²+y²=25的圆心为原点O，圆C和它相外切，
再根据两个圆的圆心连线经过切点，∴可用点斜式求得直线MC（即直线MO）的方程是 4x+3y=0．
由于线段AM的中点为（7，2），AM的斜率为-

1

2

，故AM的中垂线的斜率为2，用点斜式求得线段AM的中垂线方程是 y=2x-12．
解方程组

4x+3y=0 y=2x-12

，求得C点坐标（18，24），半径的平方为r²=|AC|²=625，
故圆C方程是（x-18）²+（y-24）²=625．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的标准方程，属于中档题．