Question

已知函数f(x)=loga(ax-

x

)(a＞0，a≠1为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若a=2，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若函数y=a^f（x）的图象恒在直线y=-2x+1的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数最值的应用,函数的定义域及其求法,函数的值域,函数的图象,对数函数的定义域

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据定义域是指使表达式有意义的x的取值范围，列出不等式，求解即可得到答案；
（Ⅱ）根据a=2求出f（x）的解析式，令g（x）=2x-

x

，再令t=

x

，则可以将g（x）转化为关于t的二次函数，求出g（x）的取值范围，再利用对数函数的单调性，即可求得f（x）的值域；
（Ⅲ）将函数y=a^f（x）的图象恒在直线y=-2x+1的上方，转化为y=a^f（x）＞-2x+1对(

1

a2

，+∞)恒成立，即ax-

x

＞-2x+1对(

1

a2

，+∞)恒成立，利用参变量分离转化成求函数的取值范围，求解即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f(x)=loga(ax-

x

)(a＞0，a≠1为常数），
∴ax-

x

＞0，即ax＞

x

，
∵a＞0，则x＞0，
∴x＜a²x²，则x＞

1

a2

，
∴函数f（x）的定义域为(

1

a2

，+∞)；
（Ⅱ）∵a=2，
∴f（x）=log₂（2x-

x

），
令g（x）=2x-

x

，再令t=

x

，则x=t²，
∵x∈[1，9]，
∴t∈[1，3]，
则y=2t²-t=2（t-

1

4

）²-

1

8

在[1，3]上单调递增，
∴当t=1时，y取得最小值1，
当t=3时，y取得最大值15，
∴1≤g（x）≤15，
∴log₂1≤log₂（2x-

x

）≤log₂15，
∴0≤f（x）≤log₂15，
∴函数f（x）的值域为[0，log₂15]；
（Ⅲ）∵函数y=a^f（x）的图象恒在直线y=-2x+1的上方，
∴y=a^f（x）＞-2x+1对(

1

a2

，+∞)恒成立，即ax-

x

＞-2x+1对(

1

a2

，+∞)恒成立，
∴a＞

1

( x )2

+

1

x

-2，
又∵x∈(

1

a2

，+∞)，
∴

1

x

∈（0，a），则

1

( x )2

+

1

x

-2＜a²+a-2，
∴a＞a²+a-2，且a≠1，解得a∈(0，

2

)且a≠1，
∴实数a的取值范围a∈(0，

2

)且a≠1．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的值域，函数的图象，对数函数的定义域．对于函数的定义域是指使得函数的解析式有意义的取值范围，要熟悉基本初等函数的定义域以及常见函数的限制条件，求函数的值域要注意考虑定义域的取值，再根据函数的解析式进行判断该使用何种方法求解值域．属于中档题．