Question

已知抛物线C：y²=8x与点M（-2，2），过C的焦点的直线l与C交于A，B两点，若

MA

•

MB

=0，求|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线C：y²=8x可得焦点F（2，0），设A(

y 2 1

8

，y1)，B(

y 2 2

8

，y2)．设直线l的方程为my=x-2，与抛物线的方程联立可得一元二次方程的根与系数的关系，利用数量积运算可得m，再利用弦长公式即可得出．

解答： 解：由抛物线C：y²=8x可得焦点F（2，0），设A(

y 2 1

8

，y1)，B(

y 2 2

8

，y2)．
设直线l的方程为my=x-2，联立

my=x-2 y2=8x

，化为y²-8my-16=0，
∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16．（*）
∵

MA

•

MB

=0，∴(

y 2 1

8

+2，y1-2)•(

y 2 2

8

+2，y2-2)=0．
化为(

y 2 1

8

+2)(

y 2 2

8

+2)+(y1-2)(y2-2)=0，
整理为

y 2 1 y 2 2

64

+

1

4

(y1+y2)2+

1

2

y1y2+8-2（y₁+y₂）=0，
把（*）代入上式可得

162

64

+

1

4

×(8m)2+

1

2

×(-16)+8-2×8m=0，
化为4m²-4m+1=0，解得m=

1

2

．
∴y₁+y₂=4，y₁y₂=-16．
∴|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+ 1 4 )(42+4×16)

=10．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算、弦长公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．