Question

4．设a≥b≥0，求证：a³+b³≥$\sqrt{ab}$（a²+b²）．

Answer 1

分析 对不等式两边平方，利用分析法证明．

解答 证明：要证：a³+b³≥$\sqrt{ab}$（a²+b²），
只需证：a⁶+b⁶+2a³b³≥ab（a⁴+b⁴+2a²b²），
即证：a⁶+b⁶-a⁵b-ab⁵≥0，
只需证：a⁵（a-b）+b⁵（b-a）≥0，
即证：（a-b）（a⁵-b⁵）≥0，
∵a≥b≥0，
∴（a-b）（a⁵-b⁵）≥0恒成立，
∴a³+b³≥$\sqrt{ab}$（a²+b²）．

点评 本题考查了不等式的证明方法，属于中档题．