Question

19．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处的极值为10．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，根据f′（1）=0，f（1）=10，联立方程组解出即可．
（2）利用（1）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+ax²+bx+a²
可得f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（1）=3+2a+b=0，①，
f（1）=1+a+b+a²=10，②，
由①②得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
而要在x=1能取到极值，则△=4a²-12b＞0，舍去$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以只有a=4，b=-11．
（2）函数f（x）=x³+4x²-11x+16，
f′（x）=3x²+8x-11，令f′（x）=0，解得x=1或x=$-\frac{11}{3}$，
x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（1，2）时，
f′（x）＞0函数是增函数，
此时x=1时函数取得最小值，f（1）=10，
f（0）=16，f（2）=18．
函数f（x）在[0，2]上的值域：[10，18]．

点评 本题考查了导数的应用，考查解方程组问题，是一道基础题．