Question

12．已知x，y∈（0，+∞），x²+y²=2x+2y．
（1）求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值；
（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=10？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据基本不等式的性质求出$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值即可；
（2）根据基本不等式的性质得到（x+1）（y+1）的最大值是9，从而判断出结论即可．

解答 解：（1）x，y∈（0，+∞），x²+y²=2x+2y．
可得$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$≥$\frac{2xy}{2xy}$=1，
当且仅当x=y=2时，等号成立．
所以$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为1；
（2）不存在x，y，满足（x+1）（y+1）=10．
因为x²+y²≥2xy，
所以（x+y）²≤2（x²+y²）=4（x+y），
∴（x+y）²-4（x+y）≤0，
又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤4．
从而有（x+1）（y+1）≤[$\frac{（x+1）+（y+1）}{2}$]²≤（$\frac{4+2}{2}$）²=9，
因此不存在x，y，满足（x+1）（y+1）=10．

点评 本题考查了基本不等式的运用，注意等号成立的条件，以及满足一正二定三等，考查运算能力，本题是一道中档题．