Question

15．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x+\frac{3}{2}$．
（1）当$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）已知ω＞0，函数$g（x）=f（\frac{ωx}{2}-\frac{π}{12}）$，若函数g（x）在区间$[{-\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}}]$上是增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦的定义域和值域求得f（x）的单调性．
（2）利用正弦函数的单调性、定义域和值域，求得ω的范围，可得ω的最大值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}+\frac{3}{2}=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2$．
∵$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，
所以，$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$，即$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{6}$时，y=f（x）增，
$\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，即$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$时，y=f（x）减，
∴函数y=f（x）在$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$上增，在$[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上减．…（6分）
（2）$g（x）=sin（2（\frac{ωx}{2}-\frac{π}{12}）+\frac{π}{6}）+2$=sin（ωx）+2，
要使g（x）在$[-\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}]$上增，只需$-\frac{π}{2ω}≤-\frac{2π}{3}$，即$ω≤\frac{3}{4}$，
所以ω的最大值为$\frac{3}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．