Question

8．设向量$\overrightarrow a=（{{x_1}，{y_1}}），\overrightarrow b=（{{x_2}，{y_2}}）$，定义运算：$\overrightarrow a$*$\overrightarrow b$=（x₁x₂，y₁y₂）．已知向量$\overrightarrow m=（{2，2}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{π}{3}，-1}）$，点P在y=sinx的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且满足$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow m*\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow n$（其中O为坐标原点），
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）当$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}}]$时，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）设P（x，y），Q（x′，y′），利用$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow m*\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow n$（其中O为坐标原点），可得$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=2x+\frac{π}{3}\\{y^'}=2y-1\end{array}\right.$，解出x，y，代入y=sinx，即可得出．
（II）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）设P（x，y），Q（x′，y′），∵满足$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow m*\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow n$（其中O为坐标原点），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=2x+\frac{π}{3}\\{y^'}=2y-1\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}{x^'}-\frac{π}{6}\\ y=\frac{1}{2}{y^'}+\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
∵P（x，y）在y=sinx上，
∴$\frac{1}{2}{y^'}+\frac{1}{2}=sin（{\frac{1}{2}{x^'}-\frac{π}{6}}）$，
∴${y^'}=2sin（{\frac{1}{2}{x^'}-\frac{π}{6}}）-1$，
∴$f（x）=2sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}}）-1$．
（2）∵$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}}]$，
∴$-\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}}）≤1$，
∴$-\sqrt{3}-1≤2sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}}）-1≤1$．
∴f（x）的值域为$[{-\sqrt{3}-1，1}]$．

点评 本题考查了新定义、向量的运算性质、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．