Question

17．已知变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x+y-5≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 3$+2\sqrt{2}$
• B． $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根据条件画出可行域，z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by过可行域内的点（2，4）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答 解不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x-y+1=0与直线3x-y-3=0的交点A（2，4）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值2，
即2a+4b=2，即a+2b=1，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$
≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$-1时，取得最小值3+2$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．本题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．