Question

13．给出下列命题：
①对任意实数y，都存在一个实数x，使得y=x²
②两个非零向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直的充要条件是|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|
③存在一个实数x，使x²-x+2≤0，
其中真命题的序号是（　　）

• A． ②③
• B． ②
• C． ①②③
• D． ①③

Answer 1

分析 ①当y＜0时，x不存在，即可判断出正误；
②由于|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|?$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即可判断出正误；
③由于△=1-8＜0，因此?x∈R，则x²-x+2＞0，即可判断出正误．

解答 解：①对任意实数y，都存在一个实数x，使得y=x²，当y＜0时，x不存在，因此不正确；
②由于|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|?$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，因此两个非零向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直的充要条件是|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，正确；
③由于△=1-8＜0，因此?x∈R，则x²-x+2＞0，故不存在一个实数x，使x²-x+2≤0，不正确．
其中真命题的序号是②．
故选：B．

点评 本题考查了一元二次方程的实数根的个数与判别式的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．