Question

9．设函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0且f（x+1）=f（x-1），若x∈（0，1）时，f（x）=log₂$\frac{1}{1-x}$，则y=f（x）在（1，2）内是（　　）

• A． 单调增函数，且f（x）＜0
• B． 单调减函数，且f（x）＜0
• C． 单调增函数，且f（x）＞0
• D． 单调增函数，且f（x）＞0

Answer 1

分析 根据条件判断函数的奇偶性和周期性，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x），
即函数f（x）是奇函数，
∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的函数，
设t=$\frac{1}{1-x}$，则函数在x∈（0，1）上为增函数，y=log₂t为增函数，则函数f（x）为增函数，
则函数f（x）在（-1，0）上为增函数，
∵函数的周期是2，
∴函数f（x）在（1，2）上为增函数，
若x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
则f（-x）=log₂$\frac{1}{1+x}$，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=log₂$\frac{1}{1+x}$=-f（x），
即f（x）=-log₂$\frac{1}{1+x}$=log₂（x+1），
当x∈（-1，0），则x+1∈（0，1），则f（x）＜0，
即函数y=f（x）在（1，2）内是单调增函数，且f（x）＜0，
故选：A

点评 本题主要考查函数奇偶性和周期性与单调性的应用，结合函数奇偶性的定义以及函数周期性的性质是解决本题的关键．综合考查函数的性质．