对任意两个非零的平面向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$.定义运算$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．对任意两个非零的平面向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$，定义运算$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$，现有如下四个命题：
①$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$；
②$\overrightarrow{α}$=（1，2），$\overrightarrow{β}$=（1，1），则$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{3}{2}$；
③若0＜|$\overrightarrow{α}$|＜|$\overrightarrow{β}$|，$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$的夹角θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），则$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
④若|$\overrightarrow{α}$|≥|$\overrightarrow{β}$|＞0，$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$的夹角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$和$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}上，则$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{3}{2}$．
其中正确命题的序号是②④（把所有正确命题的序号都写上）

分析 ①根据定义运行进行判断即可．
②利用对应结合数量积的公式进行求解．
③根据定义结合不等式的性质进行求解．
④根据题中的定义，化简整理得$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{n}{2}$且$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{a}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{m}{2}$，结合三角函数的性质进行化简整理．

解答解：①$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$，$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$=$\frac{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{α}}{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{α}}$，则当|$\overrightarrow{α}$|=|$\overrightarrow{β}$|时成立，当|$\overrightarrow{α}$|≠|$\overrightarrow{β}$|时，等式不成立；故①错误，
②若$\overrightarrow{α}$=（1，2），$\overrightarrow{β}$=（1，1），则$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$=1×1+2×1=1+2=3，$\overrightarrow{β}$•$\overrightarrow{β}$=1×1+1×1=1+1=2，则$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$=$\frac{3}{2}$，故②正确；
③若0＜|$\overrightarrow{α}$|＜|$\overrightarrow{β}$|，$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$的夹角θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），则$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$=$\frac{|\overrightarrow{α}||\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{β}||\overrightarrow{β}|}$=$\frac{|\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{β}|}$，
∵0＜|$\overrightarrow{α}$|＜|$\overrightarrow{β}$|，$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$的夹角θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴0＜$\frac{|\overrightarrow{α}|}{|\overrightarrow{β}|}$＜1，0＜cosθ≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则0＜$\frac{|\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{β}|}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），故③错误；
④若|$\overrightarrow{α}$|≥|$\overrightarrow{β}$|＞0，$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$的夹角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
则$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$=$\frac{|\overrightarrow{α}||\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{β}||\overrightarrow{β}|}$=$\frac{|\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{β}|}$，$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$=$\frac{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{α}}{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{α}}$=$\frac{|\overrightarrow{β}||\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{α}||\overrightarrow{α}|}$=$\frac{|\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{α}|}$，
∵$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$和$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}上，
∴设$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{|\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{β}|}$=$\frac{n}{2}$，$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$=$\frac{|\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{α}|}$=$\frac{m}{2}$，其中m、n都是整数
将化简的两式相乘，可得cos²θ=$\frac{mn}{4}$．
∵|$\overrightarrow{α}$|≥|$\overrightarrow{β}$|＞0，∴n≥m 且 m、n∈z，
∵$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$的夹角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），可得cos²θ∈（$\frac{1}{2}$，1）
即$\frac{mn}{4}$∈（$\frac{1}{2}$，1），结合m、n均为整数，可得m=1且n=3，从而得$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{3}{2}$．故④正确，
故答案为：②④．

点评本题主要考查命题的真假判断，本题给出新定义，求式子$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$和$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$的值以对应的性质．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，正确理解题意是解决本题的关键．考查学生的推理和运算能力．