Question

8．求函数y=$\frac{3-2sinx}{2+2cosx}$的值域．

Answer 1

分析 把函数转化为方程 sinx+ycosx=$\frac{3-2y}{2}$，利用辅助角公式化为sin（x+θ）=$\frac{3-2y}{2\sqrt{1{+y}^{2}}}$，利用三角函数有界性得出不等式：|$\frac{3-2y}{2\sqrt{1{+y}^{2}}}$|≤1，求解即可．

解答 解：∵函数y=$\frac{3-2sinx}{2+2cosx}$，∴3-2sinx=2y+2ycosx，即 sinx+ycosx=$\frac{3-2y}{2}$，
即 sin（x+θ）=$\frac{3-2y}{2\sqrt{1{+y}^{2}}}$，
再根据|$\frac{3-2y}{2\sqrt{1{+y}^{2}}}$|≤1，求得y≥$\frac{5}{12}$，
故函数的值域为[$\frac{5}{12}$，+∞）．

点评 本题主要考查了简单的函数值域的求解，辅助角公式，三角函数的有界性，不等式的解法，属于中档题．