Question

15．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B的一部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（1）求函数y=f（x）解析式；
（2）求x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数y=f（x）的值域；
（3）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数y=f（x）的值域．
（3）利用正弦函数的单调性，求得函数y=g（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B的一部分图象，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
可得A=4-2=2，B=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根据五点法作图，可得2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴y=f（x）∈[1，4]．
（3）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]+2=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2的图象，
对于函数y=g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
故函数g（x）的单调增区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．