Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB₁=4．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BC₁D；    
（Ⅱ）求异面直线AB₁与BC₁所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结CB₁交BC₁于点O，侧棱A₁A⊥底面ABC，O为B₁C的中点，且D是棱AC的中点，可得AB₁∥OD，利用线面平行的判定定理即可．
（Ⅱ）AB₁∥OD，可得∠DOB为异面直线AB₁与BC₁所成的角或其补角．解△OBD即可求出异面直线AB₁与BC₁所成的角．

解答 解：（Ⅰ）连结CB₁交BC₁于点O，…（1分）
侧棱A₁A⊥底面ABC
∴侧面BB₁C₁C是矩形，
O为B₁C的中点，且D是棱AC的中点，
∴AB₁∥OD，…（3分）
∵OD平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D…（5分）
∴AB₁∥平面BC₁D…（6分）
（Ⅱ）AB₁∥OD，∴∠DOB为异面直线AB₁与BC₁所成的角或其补角．
$∠ABC=\frac{π}{2}$，AB=BC=BB₁=4$BD=2，OD=\frac{1}{2}A{B_1}=2，OB=2$，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DOB=60°，…（11分）
∴异面直线AB₁与BC₁所成的角为60⁰．…（12分）

点评 本题考查了线面平行，异面直线所成的角，关键是要转化条件，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．