Question

14．函数y=f（x），x∈D，若常数C满足C＞0，且函数y=f（x）在x∈D上的值域是y=$\frac{C^2}{f（x）}$，在x∈D上的值域的子集，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．
（1）已知f（x）=lnx，求函数f（x）在[e，e²]上的几何平均数；
（2）若函数f（t）=-2t²-at+1（a＜-1）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上的几何平均数为$\frac{{\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据新定义，值域是y=$\frac{C^2}{f（x）}$在x∈D上的值域的子集，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．
令y=f（x₁），则$f（{x}_{1}）•f（{x}_{2}）={C}^{2}$，我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均，求解即可．
（2）根据对称轴讨论二次函数的最值，C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均，求解即可．

解答 解：根据新定义，关于函数f（x）在D上的几何平均数为C的定义，
结合f（x）=lnx，在区间[e，e²]上单调递增
则x₁=e时，存在唯一的x₂=e²与之对应
故CC²=lne×lne²=2，
∵C＞0，
故得C=$\sqrt{2}$
即函数f（x）在[e，e²]上的几何平均数C=$\sqrt{2}$．
（2）函数f（t）=-2t²-at+1（a＜-1），
其对称轴t=$-\frac{a}{4}$，图象开口向下，
当$-\frac{a}{4}≤\frac{1}{2}$或$-\frac{a}{4}≥1$时，即-1＞a≥-2或a≤-4，
t在区间$[\frac{1}{2}，1]$上单调，
则x₁=$\frac{1}{2}$时，存在唯一的x₂=1与之对应，
根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为C的定义，
几何平均数C=f（$\frac{1}{2}$）•f（1）=$-\frac{1}{2}（1-a）（1+a）$
即$-\frac{1}{2}（1-a）（1+a）$=$\frac{{\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$，
此时a不满题意．
当$\frac{1}{2}$≤$-\frac{a}{4}≤1$时，即-1＞a≥-4．
此时的最大值为f（$-\frac{a}{4}$）=$\frac{{a}^{2}+8}{8}$，最小值为f（$\frac{1}{2}$）或f（1）．
几何平均数C²=f（$\frac{1}{2}$）•f（$-\frac{a}{4}$）=$\frac{{a}^{2}+8}{4}$或几何平均数C²=f（$-\frac{a}{4}$）•f（1）=$\frac{{a}^{2}+8}{4}$
此时a=$-\sqrt{3}$或a=3，满足题意．
故得函数f（t）=-2t²-at+1（a＜-1）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上的几何平均数为$\frac{{\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$，实数a的值为$-\sqrt{3}$或-3．

点评 本题考查了对新定义的理解和运用，以及二次函数的最值的讨论与新定义法结合的化简与计算．属于中档题．