Question

10．设sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），求sin³α-cos³α的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得2sinαcosα的值，可得sinα-cosα 的值，从而利用立方差共公式求得sin³α-cos³α的值．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，∴2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$，∴α∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴sinα-cosα=-$\sqrt{{（sinα-cosα）}^{2}}$=-$\sqrt{1-2sinαcosα}$=-$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
∴sin³α-cos³α=（sinα-cosα）（sin²α+sinαcosα+cos²α）=-$\frac{\sqrt{17}}{3}$•（1-$\frac{4}{9}$）=-$\frac{5\sqrt{17}}{27}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、立方差公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．