Question

5．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x+1}$，g（x）=x²-2ax+4，若任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{15}{8}$，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． [$\frac{9}{4}$，+∞）
• D． （$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 先用导数研究出函数f（x）的单调性，得出其在区间[0，1]上的值域，f（x）的最小值是f（0）=-1．然后将题中“若?x₁∈[0，1]?x_∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）”转化为f（x₁）的最小值大于或等于g（x₂）在区间[1，2]能够成立，说明g（x₂）≤-1在区间[1，2]上有解，注意到自变量的正数特征，变形为x₂+$\frac{5}{{x}_{2}}$≤2a在区间[1，2]上至少有一个实数解，即x₂+$\frac{5}{{x}_{2}}$在区间[1，2]上的最小值小于或等于2a，问题迎刃解．

解答 解：函数f（x）=x-$\frac{1}{x+1}$的导数f′（x）=1+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，函数f（x）在[0，1]上为增函数，
因此若?x₁∈[0，1]，则f（0）=-1≤f（x₁）≤f（1）=$\frac{1}{2}$，
原问题转化为?x₂∈[1，2]，使f（0）=-1≥g（x₂），
即-1≥x₂²-2ax₂+4，在区间[1，2]上能够成立
变形为x₂+$\frac{5}{{x}_{2}}$≤2a，在区间[1，2]上至少有一个实数解，
而x₂+$\frac{5}{{x}_{2}}$∈[$\frac{9}{2}$，6]，
所以2a≥$\frac{9}{2}$，
即a≥$\frac{9}{4}$
故选：C．

点评 本题以函数为载体，既考查了不等式恒成立的问题，又考查了不等式解集非空的问题．采用变量分离避免讨论，解化运算，是解决本题的捷径．