Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{3}{cos^2}$ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．
（1）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求函数f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若$f（\frac{A}{2}）=\sqrt{3}$，且a=4，b+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求函数f（x）的值域．
（2）由条件求得A，利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（1+cos2ωx）+\frac{1}{2}sin2ωx=sin（2ωx+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∵f（x）的周期为π，且ω＞0，
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，解得ω=1，∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又$0≤x≤\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4}{3}π$，$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，$0≤sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1$，
即函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为$[0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1]$．
（2）∵$f（\frac{A}{2}）=\sqrt{3}$，∴$sin（A+\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由A∈（0，π），知$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{4}{3}π$，
解得：$A+\frac{π}{3}=\frac{2}{3}π$，所以$A=\frac{π}{3}$．
由余弦定理知：a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²-bc，∴16=（b+c）²-3bc．
因为b+c=5，所以bc=3，∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{3}{4}\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．