Question

16．2016年高考又有几个省将使用全国数学试卷，该试卷最后一题为三到选做题，即要求考生从选修4-1（几何证明选讲）
、选修4-4（坐标系与参数方程）、选修4-5（不等式选讲）中任选一题作答，为了了解同学们对这三道题的选做情况，王老师对他所做的甲、乙两个理科班共110人的一次数学模拟考试试卷中选做题的选题情况进行了统计，结果如下表所示：

	选修4-1	选修4-4	选修4-5
甲班	15	x	10
乙班	10	25	y

已知从110名学生中随机抽取一名，他选择选修4-4的概率为$\frac{6}{11}$．
（1）求x，y的值，若把频率当成概率，分别计算两个班没选选修4-5的概率；
（2）若从甲班随机抽取2名同学，从乙班中随机抽取1名同学，对其试卷选做题得分进行分析，记3名同学中选做4-1的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{x+25}{110}$=$\frac{6}{11}$，由此能求出x，y及两个班没选选修4-5的概率．
（2）由题意学生选做4-1的概率p=$\frac{15+10}{110}$=$\frac{5}{22}$，X～B（3，$\frac{5}{22}$），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）∵从110名学生中随机抽取一名，他选择选修4-4的概率为$\frac{6}{11}$，
∴$\frac{x+25}{110}$=$\frac{6}{11}$，解得x=60-25=35，
∴y=110-15-10-35-25-10=15．
∴两个班没选选修4-5的概率p=1-$\frac{10+15}{110}$=$\frac{17}{22}$．
（2）由题意学生选做4-1的概率p=$\frac{15+10}{110}$=$\frac{5}{22}$，
由题意知X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{5}{22}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{17}{22}）^{3}$=$\frac{4913}{10648}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{5}{22}）（\frac{17}{22}）^{2}$=$\frac{4335}{10648}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{5}{22}）^{2}（\frac{17}{22}）$=$\frac{1275}{10648}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{5}{22}）^{3}$=$\frac{125}{10648}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4913}{10648}$	$\frac{4335}{10648}$	$\frac{1275}{10648}$	$\frac{125}{10648}$

EX=3×$\frac{5}{22}$=$\frac{15}{22}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．