Question

15．下列说法中，所有正确说法的序号是②④．
①终边落在y轴上的角的集合是$\{α|α=\frac{kπ}{2}，k∈Z\}$； 
②函数$y=2cos（x-\frac{π}{4}）$图象的一个对称中心是$（\frac{3π}{4}，0）$；
③函数y=tanx在第一象限是增函数；
④为了得到函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度．

Answer 1

分析 ①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时写出角θ的集合，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，写出角θ 的集合，终边落在y轴上的角的集合是这2个集合的并集，故不正确；
②令x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得对称中心为（kπ+$\frac{3π}{4}$，0），k∈z，
令k=0，得到一个对称中心的坐标（$\frac{3π}{4}$，0），即可判断；
③通过举反例说明命题错误；
④由于 函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）=3sin[2（x-$\frac{π}{6}$）]，再结合函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．

解答 解：①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，或θ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z}={θ|θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，或θ=2kπ+π+$\frac{π}{2}$，k∈Z}={θ|θ=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z}，不正确；
②令x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得对称中心为（kπ+$\frac{3π}{4}$，0），k∈z，
令k=0，得到一个对称中心的坐标（$\frac{3π}{4}$，0），故正确；
③∵390°，45°是第一象限角，390°＞45°，但tan390°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜1=tan45°，
∴函数y=tanx在第一象限是增函数错误，命题①为假命题；
④由于 函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）]，故只需把函数y=3sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个长度单位即可得到函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，故正确；
故答案为：②④．

点评 本题考查终边相同的角的概念和表示法，体现了分类讨论的数学思想．考查了正弦函数的对称中心，体现了转化的数学思想，判断所求的对称中心就是函数 y=cos2x与x轴交点，是解题的关键，属于中档题．