Question

11．如图，在底半径为5，高为10的圆锥中内接一个圆柱，
（1）写出圆柱的高h与圆柱的底面半径r的关系式
（2）当内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）设圆锥的高与圆柱的下底交点为M，与圆柱的上底交点为O，过O作圆锥底面的平行线OA，交圆锥于A，过M作OA的平行线MN，交圆锥于N，由题意△POA∽△PMN，由此能求出结果．
（2）圆柱的表面积S=πr²•h=πr²（10-2r）=10πr²-2πr³，0＜r＜5，由此利用导数性质能求出圆柱的表面积的最大值及相应的r的求法．

解答 解：（1）设圆锥的高与圆柱的下底交点为M，与圆柱的上底交点为O，过O作圆锥底面的平行线OA，交圆锥于A，
过M作OA的平行线MN，交圆锥于N，
由题意△POA∽△PMN，
∴$\frac{10-h}{10}=\frac{r}{5}$，
整理，得h=10-2r．（0＜r＜5）．
（2）圆柱的表面积S=πr²•h=πr²（10-2r）=10πr²-2πr³，0＜r＜5，
S′=20πr-6πr²，
由S′=0，得r=$\frac{10}{3}$，
当0＜r＜$\frac{10}{3}$时，S′＞0；当$\frac{10}{3}＜r＜5$时，S′＜0，
∴r=$\frac{10}{3}$时，圆柱的表面积有最大值，最大值为S_max=10π×$（\frac{10}{3}）^{2}$-2$π（\frac{10}{3}）^{3}$=$\frac{1000π}{27}$．

点评 本题考查圆柱的高与圆柱的底面半径的关系式的求法，考查当内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积有最大值，最大值是多少的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．