Question

1．已知值域为[-1，+∞）的二次函数满足f（-1+x）=f（-1-x），且方程f（x）=0的两个实根x₁，x₂满足|x₁-x₂|=2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）函数g（x）=f（x）-kx在区间[-1，2]内的最大值为f（2），最小值为f（-1），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，根据根与系数的关系可得二次项系数，从而求出f（x）的表达式；
（2）根据g（x）的单调性判断出函数的对称轴，从而求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵f（-1+x）=f（-1-x），可得f（x）的图象关于x=-1对称，
∴设f（x）=a（x+1）²+h=ax²+2ax+a+h，
∵函数f（x）的值域为[-1，+∞），可得h=-1，
根据根与系数的关系可得x₁+x₂=-2，x₁ x₂=1+$\frac{h}{a}$，
∴x₁-x₂=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{-\frac{4h}{a}}$=2，解得：a=-h=1，
∴f（x）=x²+2x；
（2）由题意得函数g（x）在区间[-1，2]递增，
又g（x）=f（x）-kx=x²-（k-2）x=${（x-\frac{k-2}{2}）}^{2}$-$\frac{{（k-2）}^{2}}{4}$，
∴$\frac{k-2}{2}$≤-1，即k≤0，
综上：k≤0．

点评 本题考察了二次函数的性质，考察函数的单调性问题，是一道中档题．