Question

6．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：BE⊥平面PAC； 
（2）求直线AB与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥PB，AC⊥CB，从而AC⊥BE，又BE⊥PC，由此能证明BE⊥平面PAC．
（2）以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线AB与平面BEF所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB，…（1分）
由∠BCA=90°，得AC⊥CB，…（2分）
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，…（3分）
∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE，…（4分）
∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，…（5分）
∵PC∩AC=C，BE⊥平面PAC．…（6分）
解：（2）如图，以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系．
则C（2，0，0），A（2，2，0），P（0，0，2），E（1，0，1），…（7分）
$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{BP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PA}$=（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}$）．…（8分）
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，则得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1）．…（10分）
$\overrightarrow{AB}=（-2，-2，0）$，
$cos\left?{\overrightarrow{AB}，\overrightarrow m}\right＞=\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow m}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow m}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$sinα=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴直线AB与平面BEF所成角的正弦值$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．