Question

设函数f（x）=lnx-ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：当x∈（1，+∞）时，

x

ex-1

•x 

1

x-1

＜e．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求f（x）在x=1时的导数值，求出f（1），由直线方程点斜式得切线方程；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，对a分小于等于0和大于0讨论，当a＞0时由导函数的零点对函数定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）把要证明的不等式

x

ex-1

•x 

1

x-1

＜e转化为lnx＜x-1，构造函数g（x）=lnx-x+1，由导数加以证明．

解答： （Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=lnx-x，f（1）=-1，∴切点为（1，-1），
f′(x)=

1

x

-1，f′（1）=0，切线方程为y=-1；
（Ⅱ）解：f′(x)=

1-ax

x

，
∵x＞0
∴当a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
当a＞0时，

f′(x)＞0 x＞0

，得0＜x＜

1

a

，

f′(x)＜0 x＞0

，得x＞

1

a

，
∴f（x）的增区间为(0，

1

a

)，减区间为(

1

a

，+∞)；
（Ⅲ）证明：当x∈（1，+∞）时，要证明：

x

ex-1

•x 

1

x-1

＜e．
即证x

1

x-1

+1＜ex，即证x

x

x-1

＜ex，即证lnx

x

x-1

＜lnex．
即证

x

x-1

lnx＜x，
∵x＞1
即证lnx＜x-1，
令g（x）=lnx-x+1，
∵g′(x)=

1-x

x

＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（1）=0，
即lnx＜x-1，
∴当x∈（1，+∞）时，

x

ex-1

•x 

1

x-1

＜e．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了数学转化思想方法，对于（Ⅲ）的证明，合理转化是关键，是压轴题．