Question

已知函数f（x）=x+

4

x

（1）证明：f（x）在x∈[2，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[4，12]上的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出f′（x），然后说明x∈[2，+∞）时f′（x）≥0即可；
（2）根据（1）知f（x）在[4，12]上单调递增，所以根据单调性即可求出f（x）在[4，12]上的值域．

解答： 解：（1）f′（x）=1-

4

x2

=

x2-4

x2

；
∴x∈[2，+∞）时，f′（x）≥0；
∴f（x）在x∈[2，+∞）上是增函数；
（2）由（1）知f（x）在[4，12]上单调递增；
∴x∈[4，12]时，f(x)∈[f(4)，f(12)]=[5，

37

3

]；
即f（x）在[4，12]上的值域为[5，

37

3

]．

点评：考查通过说明函数导数f′（x）≥0来证明函数f（x）在一区间上是增函数的方法，以及根据函数的单调性求函数的值域．