Question

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单一函数．如f（x）=2x+1（x∈R）是单一函数，下列命题正确的是

 

．（写出所有正确答案）
①函数f（x）=|x-1|（x∈R）是单一函数；
②函数f（x）=ln（x-1）（x＞1）是单一函数；
③若f（x）为单一函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）=f（x₂）；
④在定义域上是单一函数一定是单调函数．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由f（x）=1时，有x=0或x=2说明①错误；利用单一函数的概念证明②正确；
函数f（x）为单一函数，则f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，即x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）说明③错误；
举例说明④错误．

解答： 解：对于函数f（x）=|x-1|（x∈R），当f（x）=1时，有x=0或x=2，∴函数f（x）=|x-1|（x∈R）不是单一函数，命题①错误；
对于函数f（x）=ln（x-1）（x＞1），设x₁＞1，x₂＞1，若ln（x₁-1）=ln（x₂-1），则x₁-1=x₂-1，
∴x₁=x₂，函数是单一函数，命题②正确；
若f（x）为单一函数，则f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，即x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂），③命题错误；
函数f(x)=

1

x

在其定义域内为单一函数，但不是单调函数，命题④错误．
故答案为：②．

点评：本题是新定义题，主要考查函数的性质的推导和判断，考查学生分析问题的能力，是中档题．