Question

8．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6，BC=4，AA₁=2，P，Q分别为棱AA₁，C₁D₁的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{34}$
• D． 5$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，把问题转化为从小长方体PMNG-A₁HQD₁ 的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．分类剪展求出最小值，求最小值中的最小者得答案．

解答 解：如图，
∵P，Q分别为棱AA₁，C₁D₁的中点，
∴问题可转化为从小长方体PMNG-A₁HQD₁ 的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．
共有三种剪展方法：
沿QH剪开再展开，此时最短距离为l=$\sqrt{（3+1）^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$；
沿QN剪开再展开，此时最短距离为l=$\sqrt{（3+4）^{2}+{1}^{2}}=5\sqrt{2}$；
沿QD₁ 剪开再展开，此时最短距离为l=$\sqrt{（4+1）^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{34}$．
∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为$4\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查分类讨论和数形结合的解题思想方法，想到剪展的所有情况是解题的关键，是中档题．