Question

16．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AB=AA₁=2，N、M分别是AB、C₁D的中点．
（1）求证：NM∥平面A₁ADD₁；
（2）求证：NM⊥平面A₁B₁M．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面A₁ADD₁．
（2）由$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=0，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}M}$=0，利用向量法能证明NM⊥平面A₁B₁M．

解答 证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AB=AA₁=2，N、M分别是AB、C₁D的中点，
∴M（0，1，1），N（1，1，0），$\overrightarrow{MN}$=（1，0，-1），
∵平面A₁ADD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=0，
∵MN?平面A₁ADD₁，∴MN∥平面A₁ADD₁．
（2）A₁（1，0，2），B₁（1，2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-1，1，-1），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=0，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}M}$=0，
∴MN⊥A₁B₁，MN⊥A₁M，
∵A₁B₁∩A₁M=A₁，
∴NM⊥平面A₁B₁M．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．