Question

20．设函数f（x）=-x²-2x，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{4x}，x＞o}\\{x+1，x≤0}\end{array}\right.$，h（x）=g[f（x）]．
（1）求函数h（x）的单调递增区间．
（2）若关于x的方程h（x）-a=0有4个不同的实数很，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数f（x），g（x）的解析式，结合h（x）=g[f（x）]，先求出函数h（x）的解析式，进而根据复合函数单调性：“同增异减”的原则，得到答案；
（2）求得h（x）的极值和范围，由题意可得y=h（x）的图象与直线y=a有4个交点．即可得到a的范围．

解答 解：（1）令-x²-2x=0得，x=0，或x=-2；
∴当x≤-2，或x≥0时，f（x）≤0，
当-2＜x＜0时，f（x）＞0；
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+\frac{1}{4f（x）}，-2＜x＜0}\\{-{x}^{2}-2x+1，x≤-2或x≥0}\end{array}\right.$；
①当x≤-2时，函数h（x）为增函数；x≥0时，函数h（x）为减函数；
②当-2＜x＜0时，令f（x）=t，0＜t＜1，
设y=h（x），则：y=t+$\frac{1}{4t}$，0＜t＜1，
y′=$\frac{4{t}^{2}-1}{4{t}^{2}}$，
∴t∈（0，$\frac{1}{2}$）时，y′＜0，y=t+$\frac{1}{4t}$为减函数，
t∈（$\frac{1}{2}$，1）时，y′＞0，y=t+$\frac{1}{4t}$为增函数；
令f（x）=-x²-2x=$\frac{1}{2}$，则x=-1±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵当-2＜x＜-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）为增函数，g（x）为减函数，故h（x）为减函数；
当-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜-1时，f（x）为增函数，g（x）为增函数，故h（x）为增函数；
当-1＜x＜-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）为减函数，g（x）为增函数，故h（x）为减函数；
当-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜0时，f（x）为减函数，g（x）为减函数，故h（x）为增函数；
综上所述，函数h（x）的单调递增区间为[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1]，[-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞），（-∞，-2]；
（2）由（1）可得，当x≥0或x≤-2时，h（x）≤1；
x=-1时，h（x）取得极大值$\frac{5}{4}$；x=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，h（x）取得极小值1；
x=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，h（x）取得极小值1．
由方程h（x）-a=0有4个不同的实数很，
即为y=h（x）的图象与直线y=a有4个交点．
则a的取值范围是[1，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，复合函数的单调性，函数和方程的转化思想，注意运用函数的图象的交点，属于中档题．