Question

1．存在θ∈R，使得关于θ的不等式cos2θ＞2mcosθ-4m+7成立，则实数m的取值范围为（1，+∞）．

Answer 1

分析 根据已知条件，等价转化成cos²θ-2mcosθ+4m-2＞0成立，然后，换元法t=cosθ，-1≤t≤1，分离变量m，求出函数的最小值，即可实数m的取值范围．

解答 解：存在θ∈R，关于θ的不等式cos2θ＞2mcosθ-4m+7恒成立，
即2cos²θ-2mcosθ+4m-8＞0成立，即：cos²θ-mcosθ+2m-4＞0．由θ∈R，则-1≤cosθ≤1，
可得m＞$\frac{co{s}^{2}θ-4}{cosθ-2}$=cosθ+2．
cosθ+2∈[1，3]，
存在θ∈R，使得关于θ的不等式cos2θ＞2mcosθ-4m+7成立，
可得m＞1
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题重点考查了三角公式、同角三角函数基本关系式中的平方关系，分离变量求解函数的最小值，考查转化思想的应用．